仪器误差的微分法和仪器误差的几何法与逐步投影法

仪器误差的分析与计算

仪器误差的来源多种多样，其性质也各不相同。为了确定仪器的总精度，需要掌握各类误差的来源及其规律，进而计算误差的大小。仪器误差的分析一般按以下三个步骤进行：寻找仪器误差源；计算分析各个误差对仪器精度的影响；各项误差的合成。其中，*步可以根据上节给出的仪器误差来源逐项分析寻找，第二步的方法在本节讲述，第二步的方法将在下一节给出。

—、微分法

仪器的输出和各元件特性参数、结构参数之间的关系如果能用数学关系表达，那么这种关系式就称为作用方程式或仪器方程式。若此时误差源为上述元件特性参数或结构参数则可以对作用方程式做全微分，进行误差分析与计算。

例3-2自准直仪制造误差分析。

例3-1给出了自准直仪原理误差的分析，这是基于各元件参数理想情况。如果存在制造误差，哪些零件的误差会影响测角精度呢？由式（3-9)有

这就是自准直仪的作用方程式。对式（3-12)进行微分，有

式（3-13)两边同除以α，得到相对误差关系式

式（3-14)右边*项是分划板刻线的相对误差，第二项是物镜焦距的相对误差。可见测角误差与这两个元件的制造误差有关；同时这两项误差的贡献符号相反，可考虑在制定零件公差时，一个给正偏差一个给负偏差，使它们对仪器测角误差的影响起到某种程度的抵消作用。

微分法的优点是利用微分运算解决误差计算问题，简单快速。其局限性是无法分析不能列入仪器作用方程式的误差源，如度盘安装偏心等。此类误差通常产生于装配调整环节，与仪器作用方程式无关。

二、几何法

利用仪器输出误差与局部误差的几何关系，同样可以进行仪器精度分析。具体步骤是，画出仪器工作过程中某一瞬间的作用原理图，依据其中的几何关系写出系统输出与误差源的关系，将误差代入即可得到仪器误差。例3-1举出的自准直仪的原理误差即是用几何法求得的。下面再举一个例子。

例3-3度盘安装偏心所引起的读数误差。

如图3-3所示，O1是度盘的几何中心，O是主轴的回转中心，度盘的安装偏心量为e。当主轴的回转角度为α时，度盘几何中心从O1移至O2处，这时读数头的实际读数为度盘从A点到B点弧上刻度对应的角度α+△α，但实际转角为α，,因此读数误差为△α。为了得到该误差与系统参数之间的关系，根据正弦定理有 式中R为刻度盘刻划半径，e为偏心量。利用小角度近似有

而|Sinα|≤1，故度盘安装偏心引起的zui大读数误差为

与微分法相比，几何法非常直观，适用于求解无法列入作用方程式的误差源引起的仪器输出误差。不过，几何法在分析计算复杂机构运行误差时较为困难。

三、逐步投影法

逐步投影法是几何法的拓展，适用于机构误差分析。其基本原理是将主动件的原始误差先投影到其相关的中间构件上，再从该中间构件投影到下一个与其相关的中间构件上，zui终投影到机构从动件上，依次求出机构位置误差。

例3-4平行四边形机构误差分析。

图3-4所示为zui基本的平行四边形机构，该机构可用于角度及角速度的等值传递。当与AB与CD杆长相等时，AD发生严格的平移。由于制造或装配误差造成AB≠CD，杆长误差△α=|a1-a|，因此可用逐步投影法求出从动件CD转角误差△φ=φ1-φ。

由图3-4可知，△a在AD上的逐步投影值△AD =△acos(90°-φ) =△asinφ。而从动件CD转动的作用臂是C点到AD的垂直距离CE= CDcosφ1= a1cosφ1≈acosφ。 则从动杆CD的转角误差△φ=△AD/CE，满足

四、其他方法

误差分析还有其他方法，如作用线与瞬时臂法、转换机构法、矢量法、经验估算法、实验测试法等，具体方法参见误差分析书籍，以下仅给出简要介绍。

某些原始误差对仪器误差的影响不能直接求出，例如传动系统的齿轮的周节误差、齿形误差等，这时需要分析原始误差作用的中间过程，研究机构传递运动，结合力和运动传递的作用线与瞬时臂，求得zui终误差。这一方法比逐步投影法更深刻地描述误差的传递，在求解空间机构误差问题时，具有突出的*之处。

对于机构误差分析还可以使用转换机构法，即将产生误差的构件看成主动件，转换构件间的连接方式，并将其他构件看成理想件，给出等效机构，即转换机构。转换机构的形式由误差性质决定，如逐步投影法的例3-4中研究杆长误差的影响，可将铰链替换成直线运动副，如连杆滑块机构。之后按照转换机构的速度方向和位移量，画出小位移图，根据几何关系求的输出误差。

光学元件引起光束出射方向变化的精度分析一般比较复杂，如分析反射镜和棱镜的转像作用时，宜使用矢量法。该方法的主要思路是将光束和光学元件的特征方向用矢量表示，之后利用矢量形式的折射、反射定律以及棱镜的作用矩阵进行矢量运算，分析光束出射方向的误差。

经验估算法和实验测试法也是误差分析中常用的方法。仪器中有许多误差是无法分析计算的，但在设计阶段需要知道其变化范围，如果这样的误差有据可查，或有前人做过可信的测试，则可以直接引用。例如估读误差一般取分度值的1/10，这是因为仪器的刻度间距一 般为1mm左右，人眼的分辨线值大约为0.075mm。对于一些不能分析计算而又难以估计的误差，通常采用实验测试或仿真实验对其进行测试。